CHE COS’È LA MATEMATICA?
Qualcuno una volta ha detto che la filosofia è l’uso scorretto di una terminologia inventata apposta a tale scopo. Analogamente, direi che la matematica è la scienza delle operazioni ingegnose con regole e concetti inventati apposta a tale scopo. Il nodo cruciale è l’invenzione dei concetti. La matematica esaurirebbe presto i teoremi interessanti se questi dovessero essere formulati mediante concetti che appaiono già negli assiomi. Inoltre, se è innegabile che i concetti matematici elementari, in particolare quelli della geometria elementare, sono stati formulati per descrivere entità direttamente connesse al mondo reale, la stessa cosa non si può dire per i concetti più avanzati, in particolare quelli che svolgono un ruolo tanto importante in fisica. Così, le regole delle operazioni con coppie di numeri sono ovviamente ideate per dare gli stessi risultati di quelle con le frazioni, che abbiamo appreso senza alcun riferimento alle «coppie di numeri». Le regole delle operazioni con le successioni, cioè con i numeri irrazionali, appartengono anch’esse alla categoria delle regole escogitate per riprodurre le regole delle operazioni con quantità già note. La maggior parte dei concetti matematici più avanzati, come i numeri complessi, le algebre, gli operatori lineari, gli insiemi di Borel – e l’elenco potrebbe continuare quasi all’infinito –, è stata opportunamente concepita in modo che il matematico vi possa esercitare il suo acume e il suo senso di bellezza formale. Del resto, la definizione di tali concetti, insieme all’idea che a essi possano applicarsi considerazioni interessanti e ingegnose, è la prima dimostrazione della creatività del matematico che li definisce. La profondità di pensiero alla quale si ricorre nella formulazione dei concetti matematici è in seguito comprovata dall’abilità con cui questi concetti vengono applicati. Il grande matematico sfrutta pienamente, quasi impietosamente, il campo dei ragionamenti ammissibili, sfiorando l’inammissibile. Che la sua temerarietà non lo conduca in una palude di contraddizioni è già di per sé un miracolo. Certo è difficile credere che le nostre capacità di ragionamento abbiano raggiunto la perfezione che sembrano possedere grazie a un processo darwiniano di selezione naturale. Ma non è di questo che ci stiamo occupando. Il punto centrale che si dovrà richiamare in seguito è che il matematico potrebbe formulare soltanto una manciata di teoremi interessanti se non fosse in grado di definire concetti che vanno al di là di quelli contenuti negli assiomi; i concetti non contenuti negli assiomi sono definiti allo scopo di permettere operazioni logiche ingegnose che fanno appello al nostro senso estetico sia in quanto operazioni, sia per la grande semplicità e generalità dei loro risultati.
da: L'irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali, di E.P. Wigner.
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